Базар Ринчинович Ринчино родился в 1913 году в улусе Шара-Хундуй ныне Агинского района Агинского бурятского автономного округа Читинской области.
Окончил начальную школу в посёлке Боржигантай. Девятилетнее образование завершал в школе посёлка Агинское. В 1930 году он поступил в Агинское педагогическое училище, по окончании которого работал учителем в Зуткулейской начальной школе. В 1935 году был назначен её директором.
В ряды Рабоче-крестьянской Красной Армии Базар Ринчино был призван в начале 1943 года. До осени 1943 года службу проходил в запасном полку, освоил воинскую специальность наводчика противотанкового ружья. В боях с немецко-фашистскими захватчиками сержант Б. Р. Ринчино с сентября 1943 года в составе 1-го мотострелкового батальона 71-й механизированной бригады 9-го механизированного корпуса 3-й гвардейской танковой армии Воронежского (с 20 октября 1943 года — 1-го Украинского) фронта в должности командира отделения роты противотанковых ружей.
Во второй половине сентября 1943 года подразделения 3-й гвардейской танковой армии вышли к Днепру. В ночь с 21 на 22 сентября 1943 года сержант Б. Р. Ринчино в числе первых форсировал водную преграду в районе Букринской излучины. Участник боёв на Букринском плацдарме. 29 сентября 1943 года сержант Ринчино лично уничтожил семерых немецких солдат и вынес с поля боя раненого офицера. В последующих боях за удержание и расширение плацдарма уничтожил не менее двух немецких танков и большое количество вражеской пехоты. В начале ноября 1943 года 3-я гвардейская танковая армия была переброшена на Лютежский плацдарм и принимала участие в Киевской наступательной и Киевской оборонительной операциях, в ходе которых Б. Р. Ринчино проявил себя как отличный младший командир. Он был произведён в старшие сержанты и назначен на должность старшины роты противотанковых ружей.
1 декабря 1943 года 3-я гвардейская танковая армия была выведена в резерв для отдыха и пополнения, и вновь была брошена в бой в ходе Житомирско-Бердичевской операции. Немцы отступали на Коростышев, прикрываясь засадами. Одна из таких немецких групп попыталась выйти во фланг наступающим частям бригады, но сама угодила в засаду, устроенную старшим сержантом Ринчино и рядовым Фёдоровым, потеряв в ходе боя до 15 человек убитыми.
Развивая наступление, 1-й мотострелковый батальон 71-й механизированной бригады настиг танковую колонну отступающего противника. Преодолев лежащее на его пути болото, батальон занял выгодную позицию и разгромил колонну. В ходе боя старший сержант Б. Р. Ринчино уничтожил шесть вражеских танков. 26 декабря 1943 года Базар Ринчино получил задание взять «языка». Проникнув в одиночку в тыл немцев на дороге Брусилов-Коростышев, старший сержант Ринчино взял в плен группу из 20 военнослужащих вермахта и доставил её в штаб бригады.
Утром 28 декабря 1943 года подразделения 9-го механизированного корпуса вышли западнее Коростышева на рубеж Бельковцы — Студеница — Стрижёвка. Однако немцы подтянули из Житомира подкрепление и нанесли мощный контрудар. Рота противотанковых ружей 1-го мотострелкового батальона 71-й механизированной бригады была брошена на отражение танковой атаки у села Бельковцы. В этом бою старший сержант Ринчино, уничтоживший три немецких танка, пал смертью храбрых. Похоронен в селе Бельковцы Коростышевского района Житомирской области Украины.
10 января 1944 года указом Президиума Верховного Совета СССР за образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками старшему сержанту Ринчино Базару Ринчиновичу присвоено звание Героя Советского Союза.
